4All

برای مشاهده متن مقاله روی ادامه مطلب کلیک کنید.

اجتماع توابع-توابع چند ضابطه‌ای
بسیار اتفاق می‌افتند که مقدار یک تابع در سراسر دامنه‌اش با یک ضابطه مشخص نمی‌شود مثلاً ممکن است دامنه تابع f که آن را X می‌نامیم را به n مجموعه X1,X2,X3,...,Xn افراز کنیم و تابع f با دامنه X را برای هر x?Xi به صورت (f(x)=fi(x تعریف کنیم که در آن fi تابعی با دامنه Xi است. همچنین در این صورت می‌توان تابع f را برای هر x از دامنه به صورت زیر نوشت:

در این صورت f را تابعی با n ضابطه می‌گوییم.n در مثالی دیگر فرض کنید f:X?Y و g:Z?W دو تابع باشند که برای هر x متعلق به اشتراک X و Y (اشتراک دامنه f,g) داشته باشیم (f(x)=g(x. در این صورت تابع اجتماع دو تابع f,g را به صورت زیر تعریف می کنیم:


برخواننده است که خوش تعریفی این تابع را تحقیق کند. این مفهوم را می‌توان گسترش داد یعنی اگر خانواده‌ای از مجموعه‌های دو به دو جدا از هم باشد و برای هر fi,i?I تابعی با دامنه Ai باشد، می‌توان تابع f، اجتماع توابع fi برای هر i?I را با دامنه را به صورت برای هر x از دامنه به صورت (x) f(x)=fi اگر x?Ai تعریف کرد. در ادامه نمونه‌هایی از توابع چند ضابطه‌ای را خواهید دید.
نمودار تابع
منظور از نمودار یک تابع f:X?Y به تصویر کشیدن تناظری است که f بین دو مجوعه X و Y ایجاد می‌کند. برای این کار برای همه وابط و بلاخص توابع عموماً از نمودار پیکانی استفاده می‌شود. برای رسم نمودار پیکانی تابع f:X?Y، دو منحنی بسته، نظیر آنچه در نمودار ون استفاده می‌شود را برای نمایش مجموعه X و Y انتخاب می‌کنیم و عناصر هر یک را به‌وسیله نقاطی در آنها مشخص می‌کنیم. سپس بین هر عضو x?X و (f(x یک پیکان از x به (f(x به نشانه تناظر بین آن دو رسم می‌کنیم. به عنوان مثال اگر {X={1,2,3,4,5 و {Y={a,b,c,d,e و f:X?Y به صورت {(f={(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,d تعریف شده باشد نمودار پیکانی آن به صورت مقابل است.

شکل(3) نمودار پیکانی یک تابع

شکل (4) نمونه‌ای از نمودار یک تابع حقیقی در دستگاه مختصات دکارتی
این روش گرچه مناسب است ولی برای نمایش همه توابع بویژه توابعی با دامنه اعداد حقیقی(و به طور کلی توابعی که عددی هستند) چندان کاربرد ندارد. اگر f تابعی با دامنه اعداد حقیقی R باشد آن را تابع حقیقی می‌گوییم و برای نمایش نمودار آن از دستگاه مختصات دکارتی استفاده می‌کنیم و روش کار به این صورت است که برای هر x € R زوج مرتب ((x,f(x) که نماینده نقطه‌ای در صفحه دکارتی است را رسم می‌کنیم و به این ترتیب نمودار تابع f حاصل می‌شود. رسم نمودار تابع، باعث می‌شود دیدی کلی نسبت به آن تابع پیدا کنیم و همچنین بسیاری از خواص مربوط به توابع بویژه توابع حقیقی مانند پیوستگی، مشتق پذیری، نقاط بحرانی و عطف، صعودی یا نزولی بودن و... از روی نمودار آنها قابل تعیین است. به عنوان مثال با بررسی شکل(4) می‌توان گفت این تابع در چه بازه‌هایی صعودی و در چه بازه‌هایی نزولی است، این تابع در سراسر دامنه خود پیوسته و مشتق پذیر است، دارای دو نقطه بحرانی و یک نقطه عطف است و ... .

شکل(6)
همچنین از روی نمودار یک رابطه می‌توان تابع بودن آن را بررسی کرد. به عنوان مثال نمودار شکل(1) معرف یک تابع نمی‌باشد چون عضو 3 به دو مقدار متناظر شده است. همچنین در نمودار رسم شده در دستگاه دکارتی در شکل مقابل، وضوحاً برای هر عدد حقیقی مثبت x تابع دارای دو مقدار است. به طور کلی یک نمودار در دستگاه مختصات دکارتی یک تابع است اگر هر خط عمودی مرسوم بر محور x ها نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند.
تابع یک به یک و پوشا
فرض کنید f:X?Y یک تابع باشد. در اینصورت برای تناظری که بین اعضای X و Y به‌وسیله تابع f برقرار می‌شود حالات مختلفی را می‌توان تصور کرد.

شکل(7)
اولین حالت اینکه ممکن است به ازای هر y متعلق به برد تابع f، تنها یک x در دامنه موجود باشد که (y=f(x. این شرط را می‌توان چنین فرمول بندی کرد که اگر به ازایX x1,x2€داشته باشیم f(x2) =( f(x1آنگاه 2x =1x یا:


چنین تابعی را با این ویژگی یک تابع یک به یک(تک گزین) یا انژکتیو می‌گوییم. یک به یک بودن تابع f را گاهی برای اختصار با نماد 1-1 نشان می‌دهند. در چنین حالتی ضمن اینکه بدلیل تابع بودن f هیچ دو زوج مرتبی از f دارای مولفه اول یکسان نمی‌باشند، به دلیل یک به یک بودن هیچ دو زوج مرتبی از f دارای مولفه دوم یکسان نیز نمی‌باشند. به عنوان مثال R? f: Rبه ضابطه 2f(x)=x یک به یک نمی‌باشد چرا که اگر f(x2)=( f(x1در این صورت اما الزاماً این نتیجه نمی‌دهد 2x =1x پس تابع یک به یک نمی‌باشد.
یک به یک بودن یک تابع از روی نمودار تابع نیز قابل بررسی است. در نمودار پیکانی تابع یک به یک f، وضوحاً به هر عضو از همدامنه f انتهای حداکثر یک پیکان وارد شده است. به این ترتیب نمودار پیکانی شکل(2) نمایش گر یک تابع غیر یک به یک است. همچنین نمودار یک تابع حقیقی یک به یک به گونه‌ای است که هر خط موازی محور x ها، نمودار آن را حداکثر در یک نقطه قطع می‌کند. به این ترتیب نمودار شکل(4) مربوط به تابعی غیر یک به یک است.
همانطور که در گذشته نیز اشاره شد در تابع f:X?Y برد f ممکن است دقیقاً برابر مجموعه Y نباشد، ولی همواره زیرمجموعه‌ای از Y است.حال اگر برد تابع f برابر مجموعه Y باشد یعنیran f=y در این صورت هر عضو Y تصویر یک عضو مجموعه X تحت f خواهد بود. یعنی برای هر y?Y، عضوی چون x?X وجود دارد که (y=f(x. در این حالت تابع f:X?Y را تابع پوشا(برو) یا سوژکتیو می‌گویند و به اصطلاح می‌گویند f مجموعه X را بروی Y می‌نگارد.
این نکته بسیار حایز اهمیت است، چرا که در مورد نماد f:X?Y دو گزاره f تابعی از X به توی Y است و f تابعی از X به روی Y است با هم تفاوت دارند و گزاره دوم چیزی بیش از گزاره اول یعنی پوشا بودن تابع f را نیز بیان می‌کند.
پس تابع f:X?Y یک تابع پوشا(برو) است هرگاه:

اگر f:X?Y یک تابع غیر پوشا باشد، یک راه برای پوشا کردن تابع f تحدید همدامنه آن به برد f است. به عبارت دیگر می‌توان اعضایی از مجموعه Y(همدامنه) که تصویر هیچ عضوی از X نمی‌باشند(یعنی متعلق به برد تابع نمی‌باشند) را حذف نمود در این صورت تابع f از X به مجموعه تقلیل داده شده تابعی پوشا خواهد بود. مجموعه‌ای که می‌توان Yرا به آن تحدید نمود و تابعی پوشا بدست آور تصویر X تحت f با همان (f(X است که همانطور که در بالا نیز اشاره شد، این مجموعه همان برد تابع است.
بنابر این اگر f:X?Y یک تابع باشد تابع (f:X?f(X تابعی پوشا است و این از تعریف (f(X قابل اثبات است. به عنوان مثال R? f: R ه ضابطه 2f(x)=x یک تابع پوشا نمی‌باشد. چرا که اعداد حقیقی منفی در همدامنه f(همان مجموعه R) تصویر هیچ عضوی از دامنه خود نمی‌باشند، چرا که مربع هیچ عدد حقیقی منفی نیست. اما تابع R? f: R یک تابع پوشا است چون برای هر y € R می‌توان قرار داد و داریم و لذا f پوشا است.

شکل(8) نمونه‌ای از یک تابع دوسویی
حال که با مفاهیم یک به یک بودن و پوشا بودن آشنا شدیم وضوحاً یک تابع نسبت به دارای بودن این خواص می‌تواند چهار حالت مختلف باشد. یک حالت جالب توجه و بسیار مهم زمانی است که یک تابع هم یک به یک و هم پوشا باشد. چنین تابعی را تناظر یک به یک یا دو سویی یا بیژکتیو می‌گوییم. به عنوان مثال تابع 3f(x)=x بر مجموعه اعداد حقیقی یک تناظر یک به یک است. از نمودار پیکانی مقابل می‌توانید ببینید که چنین تابعی دارای چه ویژگی خاصی است. وجود چنین تابعی بین دو مجموعه متناهی ایجاب می‌کند تعداد اعضای آنها با هم برابر باشد. این مطلب در حالت کلی نیز درست است. یعنی اگر تابعی دوسویی بین دو مجموعه(خواه متناهی یا غیرمتناهی) برقرار باشد عدد اصلی آن دو مجموعه با هم برابر است. از توابع دوسویی برای بسیاری از تعاریف در نظریه مجموعه‌ها مثلاً تشابه مجموعه‌های خوشترتیب یا تعریف همتوانی دو مجموعه استفاده می‌شود.
مجموعه توابع
اگر X و Y دو مجوعه باشند مجموعه همه توابع از مجموعه X به مجموعه Y را با YX نشان می‌دهیم و بنابه تعریف داریم:

عدد اصلی این مجموعه را نیز می‌توان به صورت زیر بدست آورد(برای اثبات به مقاله حساب اعداد اصلی رجوع کنید.):
card(YX) = (cardY)cardX 
از رابطه فوق نتیجه می‌شود اگر X مجوعه‌ای n عضوی و Y مجموعه‌ای m عضوی باشد تعداد توابع قابل تعریف از مجوعه X به مجموعه Y برابر است با mn که البته برای اثبات این مسئله خاص راه حل ترکیباتی هم وجود دارد. توضیح اینکه اگر بخواهیم تابع f:X?Y را تعریف کنیم هر عضو از n عضو مجموعه X چون x?X، را می‌توان به m طریق به یک عضو از مجموعه Y نسبت داد. پس بنا بر اصل شمارش تعریف چنین تابعی به mn طریق ممکن خواهد بود.
حال فرض کنید f:X?Y یک تابع باشد و X مجموعه‌ای n عضوی و Y مجموعه‌ای m عضوی باشند.
در این صورت اگر m?n می‌توان f را به صورت تابعی یک به یک بین دو مجموعه X و Y تعریف کرد. برای این کار کافی است n عضو را از بین m عضو مجموعه Y انتخاب کنیم و بیاد داشته باشید که ترتیب انتخاب اعضا نیز مهم است و لذا تعداد توابع یک به یک قابل تعریف برابر است با جایگشت n شی از m شی که برابر است با:

همچنین اگر n?m، می‌توان f را به صورت تابعی پوشا نیز تعریف کرد که تعداد توابع پوشا از مجموعه X به مجموعه Y برابر است با:

که البته اثبات آن به‌وسیله اصل شمول و عدم شمول انجام پذیر است و بدلیل طولانی بودن از ارائه برهان آن خودداری می‌کنیم. همچنین تعداد توابع دوسویی روی مجوعه n عضوی X برابر است با !n.
ترکیب توابع
فرض کنید g:X?Y و f:Y?Z دو تابع باشند. در این صورت برای هر x?X، داریم g(x)?Y و لذا (g(x در دامنه تابع f قرار می‌گیرد و لذا
f(g(x))?Z. کاری که انجام دادیم این بود که ابتدا x?X را توسط تابع g به عضوی از مجموعه Y متناظر کردیم و عضو حاصله در Y را به‌وسیله تابع f به عضوی از مجموعه Z متناظر کردیم. به این ترتیب می‌توان گفت عضو x را توسط دو تابع g,f به عضوی از مجموعه Z متناظر کردیم. این کار را می‌توان به طور مستقیم نیز انجام داد.

شکل(9) نمودار ترکیب دو تابع
برای این منظور تابع h:X?Z را برای هر x متعلق به مجموعه X، به صورت ((h(x)=f(g(x تعریف می‌کنیم. چنین تابعی را ترکیب تابع g و f می‌گوییم و آن را با fog (بخوانید f اُ g) نشان می‌دهیم.
با توجه به آنچه بیان شد تابع fog را می‌توان به صورت زیر نیز تعریف کرد:

توجه داشته باشید که در حالت کلی ترکیب توابع جابجایی نمی‌باشد یعنی همواره رابطه fog=gof برقرار نمی‌باشد.
به عنوان مثال اگر f:R?R با ضابطه f(x)=x3 و g:R?R باضابطه g(x)=lnx باشد در این صورت، داریم:
(fog)(x) = f(g(x)) = f(lnx) = (lnx)3 
(gof)(x) = g(f(x)) = g(x3) = ln(x)3 = 3lnx 
قضیه 
ترکیب توابع شرکت پذیر است، یعنی اگر f:A?B,g:B?C,h:C?D سه تابع باشند آنگاه ho(gof)=(hog)of. 
برای اثبات توجه می‌کنیم که هر دوی ho(gof),(hog)of توابعی از مجموعه A به توی مجموعه D می‌باشند و برای هر x?A داریم:
(((ho(gof))(x)=h(g(f(x) 
و
(((hog)of)(x)=h(g(f(x)) 
که این تساوی را توجیه می‌کند.
معکوس تابع
یادآور می‌شویم که اگر R یک رابطه از مجموعه X به مجموعه Y باشد، آنگاه معکوس رابطه R را با R-1 نشان می‌دهیم که عبارت است از:

و این یک رابطه از مجموعه Y به مجموعه X است. حال تابع f:X?Y نیز یک رابطه است و لذا به معکوس آن را نیز می‌‌توان تعریف کرد که آن را با f-1 نشان می‌دهیم و حداقل یک رابطه از Y به X است.

حال این سوال مطح می‌شود که آیا f-1 نیز یک تابع خواهد بود و یا چه هنگامی f-1 یک تابع است؟
وضوحاً برای اینکه f-1:Y?X تابع باشد، باید در شرایط تابع بودن(که در گذشته بیان شد) صدق کند یعنی در درجه اول دامنه‌اش همان مجموعه Y باشد و نیز هر عضو Y را به عضوی یگانه از X تصویر کند.
اما برای اینکه دامنه f-1 برابر مجموعه Y باشد، برد تابع f باید برابر مجموعه Y باشد و این یعنی تابع f باید پوشا باشد.
برای اینکه f-1 هر عضو از دامنه خود Y را به یک عضو یگانه از مجموعه X تصویر کند، باید برای هر x1,x2?X داشته باشیم اگر (f(x1)=f(x2 آنگاه x1=x2 و این یعنی f باید تابعی یک به یک باشد.
بنابراین معکوس تابع f:X?Y یعنی f-1 تابعی از Y به X خواهد بود اگر وفقط اگر f:X?Y یک دوسویی باشد. در این حالت f-1:Y?X را تابع معکوس تابع f می‌گوییم.
اگر f-1 معکوس تابع f:X?Y باشد رابطه زیر را بین دامنه و برد f و f-1 داریم:
1. domf ? 1 = ranf 
2. ranf ? 1 = domf 
همچنین اگر (y=f(x پس x,y)?f) ولذا y,x)?f-1) پس (x=f-1(y و بلعکس.
رابطه بین یک تابع و معکوسش را می‌توان به این صورت توصیف کرد که تابع f-1 معکوس تابع f، دقیقاً عکس تناظری که تابع f بیانگر آن است را توصیف می‌کند. به همین دلیل و بنابه تعریف تابع معکوس نمودار پیکانی تابع f-1 معکوس تابع f:X?Y با معکوس کردن جهت فلش‌ها بدست می‌آید.
همچنین اگر f تابعی حقیقی باشد، برای اینکه نمودار معکوس f را تعیین کنیم کافی است قرینه نمودار تابع f را نسبت به نیمساز ربع اول و سوم یعنی f(x)=x رسم کنیم و چون انعکاس نسبت به نیمساز ربع اول و سوم موجب جابجایی مولفه‌های اول و دوم زوج‌های مرتب تابع f می‌شود و این در حقیقت همان هدف ماست.
حال اگر f:X?Y تابعی یک به یک و پوشا با معکوس f-1:Y?X باشد، برای هر x?X داریم:
(fof ? 1)(x) = f(f ? 1)(x) = x 
(f ? 1of)(x) = f ? 1(f(x)) = x 
و این یعنی ترکیب هر تابع با معکوس خودش برابر با تابع همانی است.


بررسی چند تابع خاص
تابع ثابت
فرض کنید X و Y دو مجموعه ناتهی و b?Y عضوی ثابت و لخواه باشد. در این صورت می‌توان تابع f:X?Y را با ضابطه برای هر f(x)=b,x?X تعریف کرد که به آن تابع ثابت می‌گوییم. وجه تسمیه این تابع نیز واضح است، چرا که به هر عضو دلخواه مجموعه X عضو ثابت b از مجموعه Y را نسبت می‌دهد. این تابع را معمولاً با Cb نشان می‌دهیم و می‌توان به آن را صورت زیر نیز نشان داد:

نمودار یک تابع ثابت روی اعداد حقیقی یک خط موازی محور Xها خواهد بود.
تابع همانی
فرض کنید X یک مجموعه ناتهی باشد. در این صورت بدیهی‌ترین رابطه‌ای که ممکن است روی مجموعه X تعریف کنیم رابطه همانی با انعکاسی است. اگر این رابطه را با I نشان دهیم داریم:


شکل(10) نمودار تابع همانی روی مجموعه اعداد حقیقی
به سادگی می‌توان دید رابطه همانی روی مجموعه X یک تابع از X به روی خودش است که به آن تابع همانی می‌گوییم. به گزاره دیگر I:X?X با ضابطه برای هر I(x)=x،x?X تابع همانی است. اگر مجموعه X را مجموعه اعداد حقیقی R در نظر بگیریم، تابع همانی از مجموعه R به روی مجموعه R تابع f(x)=x است که همان نیمساز ربع اول و سوم دستگاه مختصات دکارتی است. به سادگی می‌توان تحقیق کرد این تابع در مجموعه اعداد حقیقی دوسویی است. حال مجموعه ناتهی X و زیرمجموعه A از آن را در نظر بگیرید. در این صورت بنابه آنچه از قبل گفته شد می‌توان دامنه تابع همانی روی X یعنی I:X?X را مجموعه A تحدید نمود و حاصل تابع I|A:A?X است با ضابطه برای هر I(x)=x،x?A، این تابع را که زیرمجموعه A از X را به توی X می‌نگارد را تعمیمی بر تابع همانی می‌توان دانست که به آن تابع احتوا یا شمول می‌گویند.
تابع قدر مطلق
قدر مطلق اعداد حقیقی را می‌توان به عنوان یک تابع در نظر گرفت. این تابع را می‌توان به صورت f:R?R تعریف کرد:

قدر مطلق x را معمولاً با |x| نشان می‌دهیم. وضوحاً این تابع یک تابع از مجموعه اعداد حقیقی به روی مجموعه اعداد حقیقی نامنفی است.
تابع علامت
تابع sgn:R?R را با ضابطه:

تابع علامت می‌گویم. نماد sgn کوتاه نوشتی برای sign به معنی علامت است. وجه تسمیه این تابع نیز واضح است، چرا که اعداد را بر حسب علامتشان جدا می‌کند. این تابع نمونه‌ای از توابع چند ضابطه‌ای است.
تابع انتخاب
برای مطالعه بیشتر به مقالات تابع انتخاب و اصل انتخاب مراجعه کنید.
در نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها اصلی موضوعی موسوم به اصل موضوع انتخاب بیان می‌کند برای هر دسته ناتهی از مجموعه‌های ناتهی، تابعی چون وجود دارد که بری هر داریم این تابع را تابع انتخاب می‌گوییم.
اجمالاً تابع انتخاب، انتخاب‌های هم‌زمان از اعضای دسته انجام می‌دهد و اعضای انتخاب شده را در برد خود قرار می‌دهد.
نکته‌ای که جالب و جنجال بر انگیز است این است که تنها وجود این تابع به‌وسیله اصل موضوع انتخاب تضمین می‌شود حتی اگر تعداد مجموعه‌های دسته مفروض نامتناهی باشد، و هیچ روشی برای نحوه این انتخاب ارائه نمی‌کند به عبارت دیگر برای این تابع ضابطه‌ای در نظر نمی‌گیرد. این تابع به ما امکان انتخاب‌های نامتناهی را هم می‌دهد که این امر برای اثبات بسیاری از قضایای نظریه مجموعه‌‌ها، خصوصاً قضیه خوشترتیبی و لم زرن لازم است.
تابع مشخصه
فرض کنید X مجموعه‌ای ناتهی و A زیرمجموعه‌ای از X باشد. در این صورت تابع مشخصه A در X، یعنی (بخوانید خی A) را برای هر x?X به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

البته انتخاب مجموعه {0,1} هر چند معمول‌تر است ولی الزامی نیست و می‌توان هر مجموعه دو عضوی دیگر را نیز انتخاب کرد. این تابع به هر عضو مجموعه A عدد یک و به هر عضو X-A یعنی عناصری که متعلق به X هستند ولی به A تعلق ندارند مقدار صفر رانسبت می‌دهد. وجه تسمیه این تابع این است که عناصری زیرمجموعه A از X را از سایر عناصری که در A قرار ندارند جدا می‌کند.


شکل(11) نمودار پیکانی تابع مشخصه A در X
نمونه‌ای از یک تابع مشخصه معروف تابع دیریکله است که همان تابع مشخصه Q(اعداد گویا) در R(اعداد حقیقی) است که آن را با D نشان می‌دهیم و به این صورت تعریف می‌کنیم:

به سادگی می‌توان نشان داد این تابع هر هیچ نقطه از دامنه خود پیوسته نمی‌باشد.
توابع دو (یا چند) متغیره
عباراتی چون f(x,y) = sin(xy) یا + y2 + z2 f(x,y,z)= x2را در نظر بگیرید. هر یک از آنها دو یا بیش از دو متغییر از دامنه می‌پذیرند و یک مقدار یگانه را به همه آنها نسبت می‌دهند. گاهی ممکن است تابع بجای یک شناسه دو یا چند شناسه را به بپذیر و آنها را به یک عضو از برد خود نسبت دهد، در این صورت تابع را دو یا چند متغیره می‌گوییم. چنین توابعی رابطه‌ای بین بیش از دو مجموعه هستند. به عنوان مثال تابع اول را می‌‌توان تابعی به صورتR ?R×R f(x) توصیف کرد که در این صورت تابع زوج (x,y) را به عنوان شناسه خود می‌پذیرد و آن را به عضوی از R نسبت می‌دهد که در این صورت اعضای تابع f را می‌توان به صورت سه تایی ((x,y,f(x,y) نشان داد.
پیشینه تابع
«تابع»، به عنوان تعریفی در ریاضیات، توسط گاتفرید لایبنیز در سال ????، با هدف توصیف یک کمیت در رابطه با یک منحنی به وجود آمد، مانند شیب یک نمودار در یک نقطه خاص. امروزه به توابعی که توسط لایبنیز تعریف شدند، توابع مشتق‌پذیر می‌گوییم، اغلب افراد در هنگام آموختن ریاضی با این گونه توابع برمی‌خورند. در این گونه توابع افراد می‌توانند در مورد حد و مشتق صحبت کنند. چنین توابعی پایه حساب دیفرانسیل و انتگرال را می‌سازند.
واژه تابع بعدها توسط لئونارد اویلر در قرن هجدهم، برای توصیف یک گزاره یا فرمول شامل متغیرهای گوناگون مورد استفاده قرار گرفت، مانند =sin(x) + x3(x)f
در طی قرن نوزدهم، ریاضی‌دانان شروع به فرمول بندی تمام شاخه‌های ریاضی براساس نظریه مجموعه‌ها کردند. وایراشتراس بیشتر خواهان به وجود آمدن حساب دیفرانسیل و انتگرال در علم حساب بود تا در هندسه، یعنی بیشتر طرفدار تعریف اویلر بود.
در ابتدا، ایده تابع ترجیحاً محدود شد. ژوزف فوریه مدعی بود که تمام توابع از سری فوریه پیروی می‌کنند در حالی که امروزه هیچ ریاضی‌دانی این مطلب را قبول ندارد. با گسترش تعریف توابع، ریاضی‌دانان توانستند به مطالعه «عجایب» در ریاضی بپردازند از جمله تابعی که به‌وسیله وایراشتراس معرفی شد که در سراسر دامنه خود پیوسته ولی در هیچ نقطه‌ای مشتق‌پذیر نبود. کشف چنین توابعی موجب شد تا توابع تنها به توابع پیوسته و مشتق‌پذیر محدود نشوند.
تا انتهای قرن نوزدهم ریاضی‌دانان سعی کردند که مباحث ریاضی را با استفاده از نظریه مجموعه‌ها فرمول‌بندی کنند و آنها در هر موضوع ریاضی به دنبال تعریفی بودند که براساسنظریه مجموعه‌ها و نتایج آن باشد. دیریکله و لوباچوسکی هر یک به طور مستقل و تصادفاً هم زمان تعریف «رسمی» از تابع ارائه دادند.
در این تعریف، یک تابع حالت خاصی از یک رابطه است که در آن برای هر مقدار اولیه یک مقدار ثانویه منحصر به فرد وجود دارد.
تعریف تابع در علم رایانه، به عنوان حالت خاصی از یک رابطه، به طور گسترده‌تر در منطق و علم تئوری رایانه مطالعه می‌شود.
منبع:
1. Lawrence S. Husch (????). Visual Calculus. University of Tennessee. 
2. Jo?o Pedro da Ponte (????). The history of the concept of function and some educational implications. The Mathematics Educator ?(?), ?-?. available online in Microsoft Word and HTML formats. 
3. Anton, Howard (????). Calculus with analytical geometry.. New York:John Wiley and Sons. ISBN ?-???-?????-?. 
4. پل ریچارد هالموس. نظریه طبیعی مجموعه‌ها. ترجمه? عبدالحمید دادالله. چاپ نوبت چاپ، تهران: مرکز نشر دانشگاهی، 1373، ISBN 964-01-0052-8. ‏ 
5. ایان استیوارت،دیوید تال. مبانی ریاضیات. ترجمه? محمد مهدی ابراهیمی. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، 1376، ISBN 964-01-0253-9. ‏ 
6. شووینگ تی.لین و یو-فنگ. لین. نظریه مجموعه‌ها و کاربرد آن. ترجمه? عمید رسولیان. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، 1384، ISBN 964-01-0462-0. ‏ 
7. ریچارد.آ. سیلورمن. حساب دیفرانسیل و هندسه تحلیلی جدید(مجلدهای (1) و (3)). ترجمه? دکتر علی اکبر عالم زاده. نشر علمی و فنی،
منبع فارسی:www.articles.ir